蒙特卡洛估算圆周率

通过随机投点模拟，用概率统计方法估算圆周率 π，Canvas 实时可视化收敛过程

蒙特卡洛模拟器

在正方形内随机投点，统计落入内切圆的比例估算 π ≈ 4 × M / N

π 估算值

0.000000

误差（与 Math.PI）

—

总投点数 N

圆内点数 M

圆内点（绿色） | 圆外点（红色）正方形边长 2R，内切圆半径 R

投点速度（每帧点数）

圆半径 R 200

淡化旧点（动态效果）保留 π 收敛历史

参考值（Math.PI）

3.14159265...

公式：π ≈ 4 × M / N

π 收敛曲线

横轴：投点数 N，纵轴：π 估算值（绿色为真实 π 参考线）

蒙特卡洛方法数学原理

蒙特卡洛方法（Monte Carlo Method）是一种基于随机采样的数值计算方法。估算 π 的基本思路如下：

在边长为 2R 的正方形内随机投点，正方形面积 = (2R)² = 4R²

其内切圆半径为 R，圆面积 = π × R²

点落入圆内的概率 = 圆面积 / 正方形面积 = πR² / 4R² = π / 4

因此：π = 4 × (圆内点数 M) / (总点数 N)

当投点数 N 越大时，根据大数定律，估算值越接近真实 π 值。本工具每次投点都从 [-R, R] × [-R, R] 的均匀分布中抽取 (x, y)，判断 x² + y² ≤ R² 是否成立，若成立则计入圆内点 M。

收敛特点

蒙特卡洛方法的误差以 O(1/√N) 的速度收敛，即每增加 100 倍投点数，精度提升约 1 位小数。例如 1 万点精度约 2 位，100 万点精度约 3 位，1 亿点精度约 4 位。

使用说明

点击"开始"按钮启动投点模拟，画布上将实时绘制随机点
选择投点速度：1/10/100/1000 点每帧，速度越快收敛越快
拖动半径滑块调整圆半径 R，观察对估算精度的影响
实时查看 π 估算值、误差、总点数、圆内点数
底部收敛曲线展示 π 估算值随投点数增加的收敛趋势
点击"重置"清空画布与统计重新开始模拟

适用场景与保障

教学演示：直观展示蒙特卡洛方法的原理与收敛性
概率学习：理解大数定律与随机模拟的思想
数值实验：研究投点数量与估算精度的关系
本地运行：所有计算在浏览器本地完成，无需后端
免费使用：无需注册，打开即用

常见问题

为什么估算值会上下波动？

蒙特卡洛方法基于随机采样，每次投点都是独立随机事件。当点数较少时，圆内外点比例会有较大随机波动；随着点数增加，根据大数定律，估算值会逐渐稳定并趋近真实 π。这是该方法固有的统计特性。

改变半径 R 会影响估算精度吗？

理论上，π 的估算公式 π ≈ 4M/N 与 R 无关，因为无论 R 多大，圆与正方形面积比都是 π/4。但实践中，R 太小会导致画布坐标精度不足（每个像素代表更大空间），R 太大则可能超出画布边界，因此推荐使用中等大小（150-220）的半径以获得稳定的视觉效果。

需要投多少点才能得到准确的 π？

蒙特卡洛方法收敛速度较慢，误差按 O(1/√N) 减小。约 1 万点可获得 2 位小数精度（3.14），100 万点约 3 位（3.142），1 亿点约 4 位（3.1416）。若需要更高精度，建议使用数值方法如 Chudnovsky 算法等。

"淡化旧点"选项有什么作用？

开启"淡化旧点"后，画布上的点会随时间逐渐淡化，营造动态流动效果，便于观察最新投点位置。关闭则所有点保持原始亮度，便于查看完整分布。该选项仅影响视觉效果，不影响 π 估算结果。